BARISAN DAN DERET

Artikel terkait : BARISAN DAN DERET

Barisan Bilangan

Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang dituliskan secara berurutan dengan aturan tertentu. Aturan tersebut digunakan untuk menentukan suku-suku dari barisan. Aturan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk rumus fungsi Un dengan domain bilangan asli.

Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika atau barisan hitung adalah barisan bilangan dengan setiap suku-suku yang berurutan memiliki selisih tetap (konstan). Selisish yang tetap ini disebut beda. Fungsi yang mewakili barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b adalah:

n = 1,2,3,4,.....

Barisan Geometri

Barisan geometri atau barisan ukur adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunyadiperoleh dengan cara mengalikan suku di depannya dengan bilangan yang tetap (konstan). Bilangan yang tetap ini disebut pembanding (rasio) yang dinotasikan dengan r. Fungsi yang mewakili barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah:

   n = 1,2,3,4,....

Deret Bilangan

Deret adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan.

Deret Aritmetika

Rumus deret aritmetika dengan suku pertama a dan beda b adalah: 

Deret Geometri

Deret tak Hingga

Deret tak hingga yaitu barisan yang banyak suku-sukunya tak berhingga. Jumlah dari suku-suku barisan tak hingga dinamakan deret tak hingga.

Deret Aritmetika

Deret aritmetika tak hingga dapat dituliskan sbb:

S = u₁ + u₂  + u₃ + . . . + u_n + . . .

   = a + (a+b) + (a+2b) + (a + (n-1)b) + . . .

Oleh karena nilai u_n pada deret aritmetika mendekati tak hingga untuk n mendekati tak hingga, maka nilai S pada deret aritmetika adalah tak hingga.

Deret Geometri

Nilai deret geometri tak hingga pada deret geometri bergantung nilai r.

Nilai |r| > 1

Jika nilai |r| > 1, maka nilai un mendekati tak hingga dan nilai S mendekati tak hingga. Deret ini dinamakan divergen.

Nilai |r| < 1

Jika nilai |r| < 1, maka nilai un mendekati 0 dan nilai S dapat ditentukan dengan rumus berikut.

Contoh Soal dan Pembahasan deret in dinamakan deret konvergen.

Contoh Soal dan Pembahasan

1.      Diketahui barisan aritmetika: 2,5,8,11,14, . . .

a.       Tentukan rumus fungsi yang mewakili barisan aritmetika tersebut!

b.      Tentukan nilai suku ke-15 barisan tersebut!

Penyelesaian:

Suku pertama: a = 2

Beda: b = 5-2 = 3

a.       Rumus fungsi

Un = a + (n-1)b

Un = 2 + (n-1)3

Un = 2 + 3n – 3

Un = 3n-1

b.      Nilai suku ke-15

Un = 3n-1

U₂₀= 3(15)-1

U₂₀= 44

2.      Diketahui barisan geometri dengan rumus fungsi Un = 2^n-1 dengan domain bilangan asli.

a.       Tentukan nilai 4 suku pertama!

b.      Jika Un = 128, tentukan nilai n!

Penyelesaian:

Rumus fungsi: Un = 2^n-1

a.       U₁ = 2^1-1 = 2⁰ = 1

U₂ = 2^2-1 = 2¹ = 2

U₃ = 2^3-1 = 2² = 4

U₄ = 2^4-1 = 2³ = 8

b.      Un = 128

2^n-1 = 2⁷

n-1 = 7

n    = 8

3.      Diketahui deret aritmetika Sn = 9 + 13 + 17 + 21 + 25 +  . . . + Un

a.       Tentukan rumus Sn!

b.      Tentukan jumlah sepuluh suku pertamanya!

Penyelesaian:

            Suku pertama: a = 9

            Beda: b = 13-9 = 4

      







             b.      Jumlah 10 suku pertamanya.

S₁₀  = 2(10)² + 7.10

S₁₀ = 200 + 70

S₁₀ = 270

4.      Diketahui  barisan geometri dengan rumus suku ke-n dinyatakan dengan fungsi Un = 3ⁿ⁺¹. Tentukan jumlah lima suku pertama barisan tersebut!

5.      Hitung jumlah deret geometri berikut!

a.       2 + 2/3 + 2/9 + 2/27 + . . .

b.      4 -2 +1 -1/2 + . . .

Penyelesaian:

a.       Deret geometri: 2 + 2/3 + 2/9 + 2/27 + . . .

Suku pertama: a = 2
Rasio: r = 1/3

b.      Deret geometri: 4 -2 +1 -1/2 + . . .

Suku pertama: a = 4

Rasio: r = -1/2

SOAL UNTUK LATIHAN

1. Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmetika ditentukan oleh Sn = 5n²-2n. Hitung beda barisan tersebut!
2. Keliling suatu persegi adalah 160 cm. Dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisi persegi tersebut dapat dibuat persegi kedua. Dengan cara yang sama dapat dibuat persegi ketiga dari persegi kedua. Demikian seterusnya hingga persegi ke-n yang dibuat kelilingnya mendekati nol. Hitung seluruh persegi yang ada!
3. Limit jumlah suatu deret geometri tak higga adalah 9 dan rasionya 1/3. Hitung nilai suku pertamnaya!
4. Sebuah bola jatu dari ketinggian 1 meter. Bola itu memantul kembali dengan ketinggian 4/5 dari ketingian bola sesaat sebelum jatuh. Hitung lintasan yang ditempuh oleh bola sampai bola tersebut berhenti!
5. Hitung jumlah deret geometri tah hingga √2 +1 +1/2√2 + ½ +. . .

semoga bermanfaat!